Análisis matemático

El análisis matemático es una rama de las matemáticas que estudia los números reales, los complejos, tanto del punto de vista algebraico como topológico, así como las funciones entre esos conjuntos y construcciones derivadas. Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa de límite y estudia conceptos como la continuidad, la integración y la derivación de diversos tipos.

Una de las diferencias entre el álgebra y el análisis es que en este segundo recurre a construcciones que involucran sucesiones de un número infinito de elementos, mientras que álgebra usualmente es finitista.

Subdivisiones 

Se ha discutido mucho cuántas y qué ramas compondrían el análisis, ya que a medida que la disciplina se desarrolla diversas ramas que previamente eran independientes acaban formando parte de un mismo cuerpo y en ocasiones parecen emerger ramas independientes. El análisis matemático incluye los siguientes campos:

• Análisis real, esto es, el estudio formalmente riguroso de las derivadas e integrales de las funciones real-valuadas, lo que incluye el estudio de límites, y series.
  • Ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales
  • Geometría diferencial, que extiende los métodos del análisis real sobre espacios euclídeos a espacios topológicos más generales.
  • Integración y teoría de la medida, que generaliza en concepto de cálculo integral y de medida.
  • Teoría de la probabilidad, que en gran medida comparte formalismo con la teoría de la medida, a partir de la axiomatización de Kolmogórov.
  • Análisis numérico encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.
• Análisis no real, que extiende el análsis real a cuerpos diferentes de los números reales.
  • Análisis complejo, que estudia funciones que van del plano complejo hacia sí mismo y que son complejo-diferenciables, las funciones holomorfas.
  • Análisis p-ádico, el análisis en el contexto de los números p-ádicos, que difiere de forma interesante y sorprendente de su homólogo real y complejo.
  • Análisis no estándar, que investiga ciertos números hiperreales y sus funciones y da un tratamiento riguroso de los números infinitesimales y los infinitamente grandes.
• Análisis funcional, que estudia espacios y funciones e introduce conceptos como los de espacios de Banach y espacios de Hilbert.
  • Análisis armónico, que trata de las series de Fourier y de sus abstracciones^{[cita requerida]} y adiciones analíticas subarmónicas.
  • Geometría analítica
• Topología
  • Topología diferencial, que generaliza el análisis real y complejo de varias variables a espacios topológicos más generales que ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ o ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} ^{n}}$.
  • Topología algebraica
  • Grupos de Lie
• Otras áreas:
  • Geometría algebraica